نرخ رشد سالانه مرکب یا CAGR یک مفهوم کلیدی در امور مالی و سرمایه گذاری است. چه به یک پورتفولیو و چه به یک تجارت نگاه کنید، CAGR می‌تواند درک روان‌تر و ثابت‌تری از عملکرد در طول زمان ارائه دهد.
CAGR چیست؟
نرخ رشد مرکب سالانه یک متریک در طول زمان برابر با میانگین افزایش (یا کاهش) سالانه در آن رقم است که هر سال ترکیب می‌شود .
این “ترکیب” در اینجا است که کلیدی است. اساساً، آنچه CAGR نشان می‌دهد میانگین دقیق بازدهی است که هر سال برای یک معیار – سرمایه‌گذاری یا درآمد یک شرکت – برای رسیدن از سطح A به سطح B بر اساس خط مستقیم در یک دوره زمانی مورد نیاز است.
فرمول CAGR – نحوه محاسبه CAGR
فرمول CAGR به شرح زیر است:
EVBV1�−1�100جایی که:
- BV – مقدار شروع، BV (مقدار شروع)
- EV – مقدار پایانی، EV (مقدار پایانی)
- N – تعداد دوره ها
یک مثال در اینجا مفید خواهد بود.
یک سرمایه گذار می خواهد بفهمد که به چه رشدی نیاز دارد تا پرتفوی خود از 100000 دلار به 300000 دلار در طول یک دهه برسد. فرمول او این خواهد بود:
\cfrac{\text{$300,000}} {\text{$100,000}}^{\frac{1}{10}} – 1 x 100این به 3 0.1 می رسد ، یا به عبارت دیگر، ریشه دهم از 3. نتیجه ما در اینجا (همانطور که یک ماشین حساب علمی نشان خواهد داد) 11.6٪ است.
مسلماً این رقم ممکن است شهودی نباشد. سرمایه گذار ما 200 درصد رشد کل را در دوره 10 ساله هدف قرار داده است – پس چرا پاسخ 20 درصد در سال یا 200 درصد بر ده تقسیم نمی شود؟
پاسخ در کلمه کلیدی اینجاست: مرکب . باز هم، ما می دانیم که دستاوردها در طول زمان ترکیب می شوند. CAGR ما از پایه اولیه 100000 دلار خارج نمی شود، بلکه از پایه ایجاد شده در هر سال خارج می شود.
و در واقع، اگر عملکرد سالانه خود را با نرخ رشد مرکب سالانه 11.6% فهرست کنیم، ریاضیات بررسی می کند:
- سال 0 / ارزش اولیه: 100000 دلار
- سال 1: 111,612 دلار
- سال 2: 124573 دلار
- سال 3: 139039 دلار
- سال 4: 155,185 دلار
- سال پنجم: 173205 دلار
- سال ششم: 193318 دلار
- سال هفتم: 215767 دلار
- سال 8: 240,822 دلار
- سال نهم: 268787 دلار
- سال 10 / ارزش پایانی: 300000 دلار
CAGR فرمول اکسل
مایکروسافت اکسل فرمول استاندارد CAGR ندارد. اما ما می توانیم نسبتاً ساده ایجاد کنیم.
بیایید با ساختن صفحه‌گسترده‌ای شروع کنیم که رشد ناموزون پرتفوی ما را در طول زمان نشان می‌دهد، از 100,000 دلار به 300,000 دلار:
فرمول CAGR ما در اکسل بر اساس فرمول ریاضی CAGR است. ما از مقدار نهایی – 300000 دلار – در سلول B12 استفاده می کنیم . مقدار اولیه – 100000 دلار – در سلول B2 . و دوره سال – 10 – در سلول A10 .
به یاد داشته باشید که فرمول ریاضی ما به این صورت است:
EVBV1�−1و بنابراین فرمول اکسل ما به شکل زیر است:
=((B12/B2)^(1/A12))-1
اکنون، می‌توانیم با ایجاد یک ماشین‌حساب برای نرخ رشد سالانه مرکب برای هر سال در مجموعه خود، مقداری رنگ و جزئیات را در اینجا اضافه کنیم:
برای انجام این کار، ما از یک مرجع مطلق برای مقدار اولیه 100000 دلار در سلول B2 استفاده می کنیم . در اکسل، یک مرجع مطلق با علامت دلار ($) قبل از حرف و شماره سلول نشان داده می شود.
و بنابراین فرمول ما از سال 1 شروع می شود و به این شکل است (به علامت دلار در $B$2 توجه کنید ):
=((B3/$B$2)^(1/A3))-1
از اولین درج فرمول در سلول C3، می توانیم C12 را کپی یا پر کنیم و خروجی CAGR خود را برای هر سال دریافت کنیم. (متاسفانه، سرمایه گذار ما شاهد ضعیف شدن عملکرد او در طول زمان بوده است.)
CAGR منفی به چه معناست؟
نمونه های استفاده شده تاکنون عملکرد مثبتی را نشان داده اند. اما CAGR منفی می تواند و وجود دارد. اگر یک پورتفولیو یا سود در طول زمان کاهش یابد – اگر رشد کلی منفی نشان دهد – آنگاه CAGR طبق تعریف منفی خواهد بود.
کاملاً واضح است که CAGR منفی چیز خوبی نیست، به همان دلیل که رشد منفی از هر نوعی (به استثنای موارد نادر) چیز خوبی نیست. سرمایه گذار ما نمی خواهد که پرتفوی او کم ارزش شود. شرکت ها نمی خواهند درآمدشان کاهش یابد.
یک چروک ریاضی جالب برای CAGR منفی وجود دارد که باید در نظر گرفت: اثر ترکیبی برعکس عمل می کند. برای ارقام رشد مثبت، استفاده از نکات برجسته نرخ رشد سالانه مرکب، یک پایه به‌طور پیوسته بزرگ‌تر را افزایش می‌دهد.
برای استفاده از یک مثال ساده، یک پورتفولیوی 100,000 دلاری که پس از پنج سال با CAGR 10 درصد رشد می کند، 161,051 دلار ارزش دارد. (پایه 100000 دلاری ما ضربدر 1.1 تا توان 5 است.) پنج سال رشد 10 درصدی ترکیبی باعث افزایش کلی کمی بیش از 61 درصد می شود.
با این حال، همان پورتفولیوی که به مدت پنج سال با 10٪ CAGR کوچک می شود، 61٪ کاهش پیدا نمی کند. کاهش 10 درصدی به طور پیوسته پایین‌تر است (90000 دلار در پایان سال اول، 81000 دلار پس از سال دوم و غیره). و بنابراین، نمونه کارها ما در این مدل «فقط» حدود 41 درصد در طی پنج سال کاهش یافته و به 59.049 دلار رسیده است.
CAGR در مقابل AAGR
CAGR تنها نرخ رشد سالانه سرمایه گذاران و کسب و کارها نیست. معیار دیگر، هرچند کمتر مورد استفاده قرار گرفته است، AAGR یا میانگین نرخ رشد سالانه است.
تفاوت بین CAGR و AAGR تفاوت در کلمات اختصاری است: “C” و “A”. باز هم، CAGR بازده ترکیبی در طول دوره است. AAGR میانگین بازده سالانه در طول دوره است.
بیایید به مثال قبلی خود برگردیم، که در آن رشد پرتفوی را از 100000 دلار به 300000 دلار طی ده سال برجسته کردیم. این بار، رشد سال به سال را برای هر سال محاسبه می کنیم:
برای محاسبه AAGR، ما به سادگی میانگین این ده نرخ رشد سالانه را در نظر می گیریم. در این مثال، محاسبه ما (26.00٪ + 13.49٪ + 11.19٪ و غیره تقسیم بر ده) برابر با 11.79٪ است.
AAGR 11.79 درصد تفاوت فاحشی با CAGR ما 11.61 درصد در همان مدل ندارد. اما این یک نوع نکته است. CAGR باید نشان دهد که اگر بازده هر سال یکسان بود، میانگین بازده سالانه چقدر خواهد بود . اگر واریانس بازده واقعی – در این مورد، از 0.95٪ تا 26.00٪ – آنقدر زیاد نباشد، تفاوت بین AAGR و CAGR چندان زیاد نخواهد بود.
اما اگر واریانس افزایش یابد، شکاف می تواند ظاهر شود. بیایید دوباره پرتفوی سرمایه گذارمان را تصور کنیم که هنوز از 100,000 دلار به 300,000 دلار در طول ده سال رشد می کند – اما برای رسیدن به آن مسیر بسیار پر پیچ و خم تری را طی می کند:
باز هم، CAGR ده ساله برای نمونه کارها به هیچ وجه تغییر نمی کند. 11.61 درصد باقی مانده است. مقدار پایانی، مقدار شروع و دوره زمانی همگی یکسان هستند.
اما عملکرد سال به سال بسیار متفاوت است و از افزایش 85 درصدی تا کاهش 21.48 درصدی متغیر است. و بنابراین AAGR سرمایه گذار ما اکنون 15.42 درصد است، رقمی که به طور قابل توجهی بالاتر از CAGR است.
کاری که CAGR در اینجا انجام می دهد این است که بازده را هموار کند، بنابراین ما می توانیم عملکرد کلی را در طول دوره دریافت کنیم. آنچه AAGR برجسته می کند میانگین حسابی عملکردهای فردی سال به سال است.
هر دو رقم شایستگی های خود را دارند – اما همانطور که این مثال نشان می دهد، این دو رقم به وضوح قابل تعویض نیستند. انتخاب CAGR در مقابل AAGR دقیقاً به آنچه سرمایه گذار به دنبال اندازه گیری آن است بستگی دارد. CAGR مسیر خط مستقیم را از مقدار ابتدایی تا مقدار پایانی نشان می دهد. AAGR، در بسیاری از موارد، نوسانات در طول مسیر را برجسته می کند.
قانون 72
محاسبات پشت CAGR، با توجه به ریشه های n ام و موارد مشابه، معمولاً آن گونه نیست که بتوان بدون ماشین حساب انجام داد.
اما یک میانبر جذاب وجود دارد: به اصطلاح “قاعده 72”.
قانون 72 می تواند برای تخمین CAGR مورد نیاز برای دو برابر شدن یک مقدار در یک دوره زمانی استفاده شود. فرمول کاملا ساده است:
باز هم، قانون 72 یک تخمین است – اما اغلب تخمین خوبی است. محاسبه قانون 72 به معنای CAGR مورد نیاز 7.2٪ برای دو برابر کردن پول در ده سال است. رقم واقعی 7.18 درصد است. برای هفت سال، قانون 72 بازدهی 10.3 درصدی را در مقابل 10.4 درصد با محاسبه مناسب پیشنهاد می کند.
قانون 72 فقط زمانی کار می کند که یک مقدار پایانی را در نظر بگیریم که دو برابر مقدار ابتدایی باشد. و برخی تغییرات وجود دارد که پاسخ های دقیق تری ارائه می دهند. اما برای محاسبات CAGR پشت پاکت، قانون 72 در واقع یک قانون مفید است.
